Calculadora de Variância

A variância como uma medida de variabilidade

Na inferência estatística, um dos aspectos fundamentais ao analisar um conjunto de dados é quantificar a variabilidade (ou dispersão) dos dados em relação à sua média. As métricas estatísticas mais populares para medir essa variabilidade são:

• Variância: é a média dos desvios quadráticos em relação à média aritmética.
• Desvio padrão: é a raiz quadrada da variância. O desvio padrão é a métrica mais utilizada na prática para medir a dispersão ou variabilidade dos dados.
• Coeficiente de variação: também conhecido como desvio padrão relativo. É calculado pela razão entre o desvio padrão σ e a média μ, expresso como \$(C_v=\frac{σ}{μ})\$.

Nossa calculadora de variância online calcula a dispersão de um determinado conjunto de dados e exibe o passo a passo detalhado de todas as etapas do cálculo.

Como usar a nossa calculadora de variância

A calculadora de variância aceita os dados de entrada como uma lista de números separados por um delimitador. Alguns exemplos de formatos de entrada compatíveis são mostrados na tabela abaixo.

Entrada em linha	Entrada em coluna	Entrada em coluna	Entrada em coluna
44, 63, 72, 75, 80, 86, 87, 89	44	44,	44,63,72
44 63 72 75 80 86 87 89	63	63,	75,80
44,, 63,, 72, 75, 80, 86, 87, 89	72	72,	86,87
44 63 72 75, 80, 86, 87, 89	75	75,	89
44; 63; 72, 75,, 80, 86, 87, 89	80	80,
44,,, 63,, 72, 75, 80, 86, 87, 89	86	86,
44 63,, 72,,,, 75, 80, 86, 87, 89	87	87,
	89	89,

Os números podem ser separados por vírgulas, espaços, quebras de linha ou uma combinação de diferentes tipos de delimitadores. Você pode inserir os dados tanto em formato de linha quanto em coluna. Para todos os formatos exemplificados na tabela acima, a calculadora processará a entrada perfeitamente como 44, 63, 72, 75, 80, 86, 87 e 89.

Após inserir os dados, você deve selecionar se eles representam dados de amostra ou dados de população. Ao clicar no botão de calcular, a ferramenta exibirá cinco parâmetros estatísticos fundamentais do conjunto de dados: contagem (número total de observações), média, soma dos quadrados dos desvios, variância e o desvio padrão.

Nossa ferramenta foi projetada não apenas para encontrar a variância de um conjunto de dados, mas também para fornecer uma visão clara da teoria por trás da matemática, mostrando todas as etapas envolvidas na resolução.

Ao realizar inferências estatísticas, é sempre preferível utilizar um conjunto de dados grande para obter estatísticas confiáveis. No entanto, muitas vezes é inviável coletar dados populacionais que representem todas as observações possíveis. Portanto, como regra geral, extrai-se uma "amostra" representativa da população. As conclusões sobre o todo são, então, deduzidas a partir desses dados amostrais.

A variância mede a dispersão média de um conjunto de dados em relação à sua média. Ela é frequentemente denotada por σ² para uma população e por s² para uma amostra. Um valor elevado de σ² ou s² indica uma grande dispersão dos pontos de dados em relação à média, enquanto um valor baixo indica que os dados estão mais agrupados próximos à média.

Considere os seguintes exemplos de conjuntos de dados:

(Conjunto I) 11, 3, 5, 21, 10, 15, 20, 25, 13, 26, 27

(Conjunto II) 12, 14, 14, 15, 15, 16, 16, 17, 18, 19, 20

Ao inserir o Conjunto I na calculadora de variância, obtemos:

n=11

x̄=16

SS=704

s²=70,4

s=8,39

para uma amostra, e

n=11

μ=16

SS=704

σ²=64

σ=8

para a população.

Da mesma forma, processar o Conjunto II na calculadora resulta em:

n=11

x̄=16

SS=56

s²=5,6

s=2,36

para uma amostra, e

n=11

μ=16

SS=56

σ²=5,09

σ=2,25

para a população.

• No Conjunto I, os números se desviam significativamente da média da amostra:

s²=70,4

σ²=64

• No Conjunto II, a variabilidade (dispersão) é pequena:

s²=5,6

σ²=5,09

A Fórmula da Variância: Variância Populacional vs. Variância Amostral

Variância Populacional

Em estatística, a população refere-se a todos os elementos ou observações possíveis em um estudo ou experimento. Para N observações, a fórmula da variância populacional é:

$$\sigma^2=\frac{\sum_{i}^{N}{{(x_i-\ \mu)}^2\ }}{N}$$

onde:

• σ² é a variância populacional,
• Σ representa o somatório,
• xᵢ é cada observação individual,
• μ é a média populacional,
• N é o número total de observações na população.

Variância Amostral

A variância amostral é definida pela fórmula:

$$s^2=\frac{\sum_{i}^{n}{{(x_i-\ \bar{x})}^2\ }}{n-1}$$

onde:

• s² é a variância amostral,
• Σ representa o somatório,
• xᵢ é cada observação individual,
• x̄ é a média da amostra,
• n é o número de observações na amostra.

Passo a passo para calcular a variância

O cálculo da variância envolve as seguintes etapas:

Passo 1: Calcule a média da amostra ou da população. Isso consiste na soma de todos os pontos de dados dividida pelo número total de dados (n para uma amostra e N para a população), ou seja:

Média amostral:

$$\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$$

Média populacional:

$$\mu=\frac{\sum_{i=1}^{N} x_i}{N}$$

Passo 2: Calcule os desvios subtraindo a média da amostra/população de cada ponto de dado, ou seja:

Desvios da amostra:

$$(x_1-\bar{x}), (x_2-\bar{x}), (x_3-\bar{x}), \ldots, (x_n-\bar{x})$$

Desvios da população:

$$(x_1-\mu), (x_2-\mu), (x_3-\mu), \ldots, (x_N-\mu)$$

Passo 3: Calcule o quadrado dos desvios para cada ponto de dado.

Desvios ao quadrado da amostra:

$$(x_1-\bar{x})^2, (x_2-\bar{x})^2, (x_3-\bar{x})^2, \ldots, (x_n-\bar{x})^2$$

Desvios ao quadrado da população:

$$(x_1-\mu)^2, (x_2-\mu)^2, (x_3-\mu)^2, \ldots, (x_N-\mu)^2$$

Passo 4: Calcule a soma dos quadrados dos desvios.

Soma dos desvios ao quadrado da amostra:

$$SS=\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$$

Soma dos desvios ao quadrado da população:

$$SS=\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2$$

Passo 5: Divida a soma dos desvios ao quadrado por n-1 (para uma amostra) ou por N (para a população) para obter o valor da variância.

Variância amostral:

$$s^2=\frac{SS}{n-1}$$

Variância populacional:

$$\sigma^2=\frac{SS}{N}$$

Exemplo de Cálculo de Variância para uma Amostra

Vamos considerar o seguinte conjunto de dados: 1, 2, 4, 5, 6 e 12. Para calcular a variância amostral, seguimos os passos abaixo:

Passo 1: Calcular a média da amostra.

$$\bar{x}=\frac{1+2+4+5+6+12}{6}=\frac{30}{6}=5$$

Passo 2: Calcular os desvios da média para cada ponto de dado.

x₁-x̄	x₂-x̄	x₃-x̄	x₄-x̄	x₅-x̄	x₆-x̄
1 - 5	2 - 5	4 - 5	5 - 5	6 - 5	12 - 5
-4	-3	-1	0	1	7

Passo 3: Calcular os quadrados dos desvios.

(x₁-x̄)²	(x₂-x̄)²	(x₃-x̄)²	(x₄-x̄)²	(x₅-x̄)²	(x₆-x̄)²
16	9	1	0	1	49

Passo 4: Somar os desvios ao quadrado.

$$SS=\sum_{i=1}^{n}{(x_i-\bar{x})}^2=16+9+1+0+1+49=76$$

Passo 5: Calcular a variância amostral dividindo a soma dos quadrados dos desvios pelos graus de liberdade (n-1).

$$s^2=\frac{SS}{n-1}=\frac{76}{6-1}=\frac{76}{5}=15,2$$

Lembre-se: para uma população, dividiríamos por n (o número total de pontos de dados na população), em vez de n-1, para calcular a variância populacional.

O significado e a importância da variância

A métrica de dispersão é amplamente utilizada no mundo dos investimentos. Ela ajuda os gestores de ativos a otimizar o desempenho de suas alocações. Analistas financeiros utilizam a variância para avaliar a volatilidade e o desempenho individual dos ativos que compõem uma carteira de investimentos.

Os investidores calculam o desvio antes de realizar uma nova compra para decidir se o nível de risco do investimento é justificável. A dispersão permite aos analistas quantificar a incerteza e o risco, fatores que seriam extremamente difíceis de medir sem o uso da variância e do desvio padrão.

Embora a incerteza não seja mensurável de forma direta, a variância e o desvio padrão (que é a raiz quadrada da variância) ajudam a determinar o impacto estimado de uma ação específica dentro de um portfólio.

Além do mercado financeiro, cientistas, estatísticos, matemáticos e analistas de dados utilizam a variância de forma contínua. Ela fornece insights precisos e estruturados sobre um experimento ou sobre o comportamento de uma amostra.

Cientistas buscam diferenças entre grupos de teste para determinar se são suficientemente similares e, assim, validar uma hipótese com sucesso. Quanto maior a variância, mais dispersos estarão os valores do conjunto de dados. Pesquisadores de dados utilizam essa informação para entender o quão bem a média realmente representa o conjunto analisado.

A principal desvantagem do uso exclusivo da variância é que valores atípicos (outliers) extremos em um conjunto podem distorcer significativamente a análise. Isso ocorre porque o peso dessas anomalias é ampliado matematicamente quando os desvios são elevados ao quadrado.

Por esse motivo, a maioria dos pesquisadores e analistas prefere trabalhar com o desvio padrão, calculado como a raiz quadrada da variância. O desvio padrão é menos sensível a anomalias extremas, resulta em valores estatísticos menores e retorna a métrica à unidade de medida original dos dados, tornando a interpretação do mundo real muito mais simples e intuitiva.