เครื่องคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

เครื่องคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานจะคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของชุดตัวเลข นอกจากนี้ ยังให้ข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับตัวเลข รวมถึงค่าเฉลี่ยและค่าความแปรปรวน เครื่องคำนวณยังคำนวณช่วงความเชื่อมั่นของชุดข้อมูลสำหรับระดับความเชื่อมั่นที่แตกต่างกัน และจัดทำตารางการแจกแจงความถี่

หากต้องการใช้เครื่องคำนวณนี้ ให้ป้อนตัวเลขลงในเครื่องคำนวณโดยคั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค เลือกว่าตัวเลขแสดงถึงประชากรหรือกลุ่มตัวอย่าง แล้วคลิก "คำนวณ"

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานคือการวัดทางสถิติที่กำหนดระดับการแพร่กระจายหรือความแปรปรวนของชุดข้อมูลที่กำหนด โดยจะให้ระยะทางเฉลี่ยรวมของจุดข้อมูลจากค่าเฉลี่ยของชุดข้อมูล ยิ่งค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานมีค่าน้อย จุดข้อมูลก็จะยิ่งเข้าใกล้ค่าเฉลี่ยมากขึ้นเท่านั้น ในทางกลับกัน ยิ่งค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานสูง จุดข้อมูลก็จะยิ่งอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยมากขึ้นเท่านั้น ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานคือรากที่สองของค่าสเปรดอีกค่าหนึ่งที่เรียกว่าค่าความแปรปรวน

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานคำนวณตามข้อมูลเกี่ยวกับชุดข้อมูล หากชุดข้อมูลแสดงถึงจุดข้อมูลทั้งหมดที่น่าสนใจ (ประชากร) ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานจะเรียกว่าค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร อย่างไรก็ตาม หากชุดข้อมูลแสดงถึงตัวอย่างจากประชากร ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานจะเรียกว่าค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรจะคำนวณเมื่อชุดข้อมูลแสดงถึงประชากรที่สนใจ นั่นคือชุดข้อมูลแสดงถึงข้อสังเกตทั้งหมดที่อยู่ระหว่างการพิจารณา ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรแสดงด้วย σ

σ เป็นตัวพิมพ์เล็กของอักษรกรีกที่เรียกว่าซิกมา ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรคำนวณโดยใช้สูตร:

$$\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}{(x_i-\mu)^2}}{N}}$$

ที่ซึ่ง:

• Σ คืออักษรกรีกตัวพิมพ์ใหญ่ ซิกมา ซึ่งใช้เพื่อแสดงถึงผลรวมในคณิตศาสตร์
• xᵢ แทนจุดข้อมูลแต่ละจุด (แต่ละจุดสังเกตของชุดข้อมูล) เริ่มต้นจากจุดข้อมูลแรกไปยังจุดข้อมูลที่ N (จุดสุดท้าย)
• μ หมายถึงค่าเฉลี่ยประชากร
• n คือขนาดประชากร

ตัวอย่างการคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรทั่วไป

ตัวอย่างต่อไปนี้แสดงวิธีค้นหาค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลประชากร

นักลงทุนพิจารณาว่าหุ้นเป็นสินทรัพย์ที่มีความเสี่ยงเนื่องจากมีความผันผวนสูงเมื่อเทียบกับสินทรัพย์ประเภทอื่น ผู้จัดการการลงทุนต้องการวิเคราะห์ความผันผวนของหุ้นบางตัวในเดือนที่ผ่านมา และจะไม่แนะนำหุ้นที่มีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานมากกว่าหรือเท่ากับค่าเฉลี่ยแก่ลูกค้าของเขา เพราะเขาถือว่าหุ้นดังกล่าว "เสี่ยงเกินไป"

รายการด้านล่างคือราคาปิดรายวันทั้งหมด (เป็น USD) ของหุ้นในเดือนก่อนหน้า คำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานและพิจารณาว่าผู้จัดการพิจารณาว่าหุ้น "มีความเสี่ยงเกินไป" หรือไม่:

1.31, 1.30, 1.36, 1.40, 1.40, 1.41, 1.27, 1.19, 1.15, 1.12, 0.99, 1.00, 0.97, 0.94, 0.88, 0.90, 0.86, 0.88, 0.80, 0.81

โปรดทราบว่าผู้จัดการสนใจเฉพาะราคาหุ้นของเดือนก่อนหน้าเท่านั้น และราคาที่แสดงไว้ข้างต้นคือราคาทั้งหมดของเดือนก่อน ดังนั้น เราจึงมีประชากรให้เลือกใช้ ดังนั้นเราจะคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยใช้สูตรค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร

หากต้องการหาค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน ให้คำนวณค่าเฉลี่ยก่อน โปรดจำไว้ว่าค่าเฉลี่ย μ ได้มาจากหารผลรวมของตัวเลขด้วยการนับจำนวน

$$\mu=\frac{1.31+1.30+1.36+1.40+1.40+1.41+1.27+1.19+1.15+1.12+0.99+1.00+0.97+0.94+0.88+0.90+0.86+0.88+0.80+0.81}{20}=1.097$$

จากนั้น ลบค่าเฉลี่ยออกจากตัวเลขแต่ละตัวแล้วยกกำลังสองส่วนต่าง จากนั้นบวกผลลัพธ์และหารผลลัพธ์ด้วยการนับ ผลลัพธ์เรียกว่าค่าความแปรปรวน σ²

$$\sigma^2=\frac{\left(1.31-1.097\right)^2+\left(1.30-1.097\right)^2+\left(1.36-1.097\right)^2+\left(1.40-1.097\right)^2+\ldots+\left(0.81-1.097\right)^2}{20}=0.045031$$

สุดท้าย หารากที่สองของค่าความแปรปรวนเพื่อหาค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

$$\sigma=\sqrt{0.045031}\approx0.21$$

อย่างที่คุณเห็น ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของราคาหุ้นนี้ในเดือนก่อนหน้านั้นน้อยกว่าค่าเฉลี่ย ดังนั้น ผู้จัดการจะไม่ถือว่าหุ้นนี้ "มีความเสี่ยงเกินไป"

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างจะถูกคำนวณเมื่อชุดข้อมูลที่อยู่ระหว่างการพิจารณาแสดงถึงตัวอย่างจากประชากรที่สนใจ ชุดข้อมูลนี้แสดงถึงชุดข้อสังเกตที่มีขนาดเล็กกว่าจากการสังเกตทั้งหมดที่อยู่ระหว่างการพิจารณา ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของกลุ่มตัวอย่างแสดงด้วย s ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างคำนวณโดยใช้สูตร:

$$s=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_i-\bar{x}\right)^2}{n-1}}$$

ที่ซึ่ง:

• Σ หมายถึงผลรวม
• xᵢ แทนจุดข้อมูลแต่ละจุด
• x̄ แทนค่าเฉลี่ยตัวอย่าง
• n คือขนาดตัวอย่าง

เราจะแสดงวิธีการหาค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลตัวอย่างโดยใช้ตัวอย่างเดียวกันกับค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร แต่ในสถานการณ์นี้ ผู้จัดการการลงทุนไม่สามารถเข้าถึงราคาปิดของวันทำการซื้อขายทั้งหมดของเดือนก่อนหน้าได้ อย่างไรก็ตาม เขามีราคาปิดแบบสุ่ม 5 วันของเดือนก่อนหน้า ดังนั้นเขาจะประมาณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของราคาปิดหุ้นโดยใช้ข้อมูลจากตัวอย่างที่มีอยู่

สมมติว่าเขามีราคาปิดเป็นเวลา 5 วัน:

1.31, 1.40, 0.86, 0.88, 1.40

โปรดทราบว่าผู้จัดการสนใจราคาหุ้นของเดือนก่อน อย่างไรก็ตาม เขาไม่มีราคาทั้งหมดของเดือนก่อน แต่เป็นเพียงส่วนย่อยเล็กๆ ของราคาปิดเพียง 5 วัน ดังนั้นในกรณีนี้ เรากำลังจัดการกับตัวอย่าง เราจะคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยใช้สูตรค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง

ขั้นแรก ให้คำนวณค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่าง

$$\bar{x}=\frac{1.31+1.40+0.86+0.88+1.40}{5}=1.17$$

จากนั้น คำนวณค่าความแปรปรวน s²

$$s^2=\frac{\left(1.31-1.17\right)^2+\left(1.40-1.17\right)^2+\left(0.86-1.17\right)^2+\left(0.88-1.17\right)^2+\left(1.40-1.17\right)^2}{5-1}=0.0764$$

สุดท้าย หารากที่สองของความแปรปรวนเพื่อหาค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

$$s=\sqrt{0.0764}\approx 0.28$$

ขอบของข้อผิดพลาด

การใช้ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานอย่างหนึ่งคือการคำนวณช่วงของค่าที่ "ยอมรับได้" สิ่งนี้มีบทบาทสำคัญในการประกันคุณภาพเชิงสถิติอุตสาหกรรมและการวิเคราะห์เชิงคาดการณ์ สมมติว่าข้อมูลพื้นฐานที่อยู่ระหว่างการพิจารณาเป็นไปตามการแจกแจงแบบปกติ ในกรณีนั้น ช่วงนี้เรียกว่าช่วงความเชื่อมั่น (โปรดดูหัวข้อถัดไป) ช่วงความเชื่อมั่นเหล่านี้กำหนดไว้ที่ระดับความเชื่อมั่นต่างๆ (หรือเปอร์เซ็นต์)

ส่วนต่างของข้อผิดพลาดเป็นองค์ประกอบของช่วงความเชื่อมั่นที่ให้ความกว้างของช่วงความเชื่อมั่น นั่นคือระยะขอบของข้อผิดพลาดจะให้ค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดที่ยอมรับของปริมาณที่พิจารณา

ระยะขอบของข้อผิดพลาดคำนวณโดยใช้สูตร:

$$\text{ขอบเขตข้อผิดพลาด} = z_{\alpha/2}\left(\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$

เราใช้สูตรนี้หากทราบค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานประชากร σ และในเวลาเดียวกัน ตัวอย่างควรมีขนาดใหญ่เพียงพอ (ปกติคือ n>30)

เมื่อไม่ทราบค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรและกลุ่มตัวอย่างมีขนาดเล็ก (ปกติคือ n≤30) เราจะใช้สูตรต่อไปนี้:

$$\text{ขอบเขตข้อผิดพลาด} = t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

ในสูตรนี้ เราใช้ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s เนื่องจากไม่ทราบค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานประชากร σ

\$z_{\alpha/2}\$ และ \$t_{n-1, \alpha/2}\$ ถูกกำหนดโดยใช้ z-statistics และ t-statistics ตามลำดับ และเรียกว่าค่าวิกฤต เป็นค่าคงที่ที่เกี่ยวข้องกับระดับความเชื่อมั่น

ช่วงเวลาที่ใช้ในสถิติคือ 90%, 95% และ 99% และค่า \$z_{\alpha/2}\$ คือ 1.645 (สำหรับ 90%), 1.96 (สำหรับ 95%) และ 2.575 (สำหรับ 99%)

\$\frac{\sigma}{\sqrt n}\$ หรือ \$\frac{s}{\sqrt n}\$ เรียกว่าข้อผิดพลาดมาตรฐาน

• \$\frac{\sigma}{\sqrt n}\$ ใช้เมื่อเราทราบค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร σ และเรามีกลุ่มตัวอย่างจำนวนมาก (ปกติคือ n>30)
• \$\frac{s}{\sqrt n}\$ ใช้สำหรับกรณีที่เราไม่ทราบค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร และเรามีตัวอย่างเล็กๆ (ปกติคือ n≤30) นั่นคือ แทนที่จะเป็นค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรทั่วไป σ เราต้องใช้ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของกลุ่มตัวอย่างที่เรามีอยู่ s

ช่วงความเชื่อมั่น

ตามที่แนะนำข้างต้น ช่วงความเชื่อมั่นคือช่วง (ช่วงของค่า) ซึ่งปริมาณที่กำหนดคาดว่าจะอยู่ในระดับความเชื่อมั่นที่แน่นอน

ตัวอย่างเช่น เราสามารถพูดได้ว่าส่วนสูงของเด็กผู้หญิงอายุ 13 ปี มีส่วนสูงระหว่าง 59 นิ้วถึง 66 นิ้วที่ระดับความเชื่อมั่น 90% นั่นคือ ถ้าเราเลือกกลุ่มเด็กผู้หญิงอายุ 13 ปี ประมาณ 90% ของทั้งหมด ความสูงของพวกเขาจะอยู่ระหว่างค่าที่กำหนด

ช่วงความเชื่อมั่นคำนวณโดยใช้สูตร:

$$\bar{x}± z_{\alpha/2}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$

• x̄ คือค่าเฉลี่ยตัวอย่าง
• \$z_{\alpha/2}\$ คือค่าวิกฤต
• σ คือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานประชากร
• n คือจำนวนการสังเกต

อีกสูตรหนึ่งจะใช้เมื่อเราไม่ทราบค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานประชากร σ และเราต้องใช้ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s แทน:

$$\bar{x}± t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

• x̄ คือค่าเฉลี่ยตัวอย่าง
• \$t_{n-1,\alpha/2}\$ คือค่าวิกฤต
• s คือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง
• n คือจำนวนการสังเกต

ดังที่เราจำได้จากบทที่แล้ว \$z_{\alpha/2}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\$ และ \$t_{n-1,\alpha/ 2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)\$ คือระยะขอบของข้อผิดพลาด

ตัวอย่างการคำนวณช่วงความเชื่อมั่น

สมมติว่าเรารู้ว่าราคาหุ้นรายวันที่เรากำลังพิจารณามีการกระจายตัวแบบปกติ เรามีตัวอย่างราคาหุ้นให้เลือก:

1.31, 1.36, 1.40, 1.27, 1.15, 0.99, 0.97, 0.88, 0.86, 0.80

เราจำเป็นต้องคำนวณว่าราคาหุ้นจะผันผวนในช่วงใดด้วยความเชื่อมั่น 95%

นี่เป็นตัวอย่างเล็กๆ และเราไม่ทราบค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร ดังนั้นเราจะใช้ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของกลุ่มตัวอย่างและสูตรในการคำนวณ:

$$\bar{x}± t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

• x̄ คือค่าเฉลี่ยตัวอย่าง 1.10
• \$t_{n-1,\alpha/2}\$ คือค่าวิกฤต \$t_{9, 0.025}\$ = 2.26 (ค่าวิกฤตสำหรับขนาดตัวอย่างและระดับความเชื่อมั่นที่กำหนดมักจะคำนวณจาก z-table หรือ t-table)
• s คือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง 0.23
• n คือจำนวนการสังเกต 10
• \$\frac{s}{\sqrt n}\$ เป็นข้อผิดพลาดมาตรฐาน \$\frac{0.23}{\sqrt{10}}=0.07\$

เราจึงใส่ตัวเลขลงในสูตร

$$\bar{x}± t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

และเราได้:

$$1.10 - 2.26 (\frac{0.23}{\sqrt{10}}) = 1.10 - 2.26 (\frac{0.23}{3.16}) = 1.10 - 2.26 × 0.07 = 1.10 - 0.16 = 0.94$$

$$1.10 + 2.26 (\frac{0.23}{\sqrt{10}}) = 1.10 + 2.26 (\frac{0.23}{3.16}) = 1.10 + 2.26 × 0.07 = 1.10 + 0.16 = 1.26$$

ซึ่งหมายความว่าเรามั่นใจ 95% ว่าราคาหุ้นเฉลี่ยอยู่ในช่วงความเชื่อมั่น (0.94, 1.26)