Calculadora de Razão

Calculadora de razão

A calculadora de razão permite simplificar as razões, encontrar valores em falta em proporções, e identificar se as duas razões dadas são equivalentes. A calculadora aceita números inteiros, números decimais e números em uma anotação científica eletrônica como entradas. Um exemplo de um número em uma anotação científica eletrônica é 2e5, que é igual a 2×10⁵. Há um limite de entrada de 15 caracteres, o que significa que cada entrada (A, B, C, ou D) não pode exceder 15 caracteres.

Instruções de uso

1. Para usar a calculadora como um conversor de razão, ou, em outras palavras, para simplificar uma razão, digite tanto o numerador como o denominador para um lado da razão – ou digite tanto A como B, ou ambos C e D. Em seguida, pressione "Calcular". A calculadora de razão irá então simplificar a razão dada, e retornar a resposta nos termos mais baixos.

Se os valores conhecidos foram inseridos como inteiros ou na notação eletrônica científica, a calculadora também demonstrará os passos da solução.

Se o valor inserido já estiver nos termos mais baixos, a calculadora encontrará uma razão equivalente multiplicando tanto o numerador quanto o denominador da fração dada por 2.

2. Para usar a calculadora para encontrar um valor ausente em uma proporção, digite os três valores conhecidos e deixe o campo de valor desconhecido em branco. Você pode usar qualquer campo para o valor desconhecido - A, B, C ou D. Após inserir os três valores conhecidos, pressione "Calcular". A calculadora retornará a proporção resolvida com todos os quatro valores. Se os valores inseridos forem números inteiros, a calculadora também demonstrará a solução para o problema.

Definições e fórmulas importantes

Na matemática, uma razão é definida como um par ordenado de números a e b. Usamos razões para comparar dois valores, dividindo um dos números por outro número.

Uma razão de a para b pode ser escrita como \$\frac{a}{b}\$, a/b ou a:b. Geralmente assume-se que b≠0, já que b está no denominador da fração. As razões são amplamente utilizadas na vida real para comparar quaisquer duas quantidades.

Por exemplo, se houver 2 meninas e 6 meninos em uma turma, a razão de meninas para meninos seria 2:6, ou, em uma forma simplificada, 1:3, o que significa que para cada menina há 3 meninos.

Uma proporção é uma expressão que equivale a duas razões. Em nosso exemplo anterior, a proporção poderia ser escrita da seguinte forma:

$$2:6::1:3$$

ou

$$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$$

ou

$$2:6=1:3$$

Em uma proporção a:b=c:d, o segundo e o terceiro termos, b e c, são chamados de "meios" da proporção, e o primeiro e o último termos, A e d, são chamados os "extremos". As proporções têm uma propriedade muito importante, chamada de Propriedade Meios-Extremos, ou a Fórmula da Proporção.

A fórmula de proporção

Em qualquer proporção a:b=c:d, o produto de meios b×c é igual ao produto de extremos a×d. Ou, matematicamente:

Se a:b=c:d

Então a×d=b×c

Esta fórmula nos permite encontrar um termo ausente de uma proporção. Por exemplo, se precisarmos resolver a proporção dada por A, reagruparíamos a fórmula da proporção da seguinte forma:

$$a=\frac{b×c}{d}$$

Vejamos os exemplos de cálculo dos três cenários descritos acima.

Exemplo 1

Jane é paisagista e está criando um projeto de um espaço ao ar livre para um cliente. O espaço tem uma área de 216 metros quadrados, e ela criou um projeto, onde 64 metros quadrados são ocupados por uma piscina. Logo antes de apresentar seu projeto, o cliente apresenta a exigência de que pelo menos um terço do espaço tenha que ser ocupado pela piscina. Ela tem que fazer um novo projeto, ou ela pode simplesmente apresentar o projeto existente?

Para descobrir se ela tem ou não de criar um novo projeto, ela tem de descobrir a razão entre a área da piscina e a área total ao ar livre, e depois comparar esse valor com \$\frac{1}{3}\$.

É dado que a piscina ocupa 64 metros quadrados, enquanto a área total externa é de 216 metros quadrados. Portanto, a razão necessária é:

$$\frac{64}{216}$$

A razão não é em termos mais baixos. Portanto, ela pode ser simplificada. A razão pode ser simplificada dividindo o numerador e o denominador pelo maior fator comum (o MFC).

O maior fator comum do numerador (64) e do denominador (216) é 8. Dividindo ambos os termos pelo MFC, 8, obtemos:

$$\frac{64}{8}=8$$

$$\frac{216}{8}=27$$

Portanto, $\frac{64}{216}=\frac{8}{27}$.

A piscina ocupa \$\frac{8}{27}\$ do total da área externa. O cliente, no entanto, quer que ela pegue pelo menos \$\frac{1}{3}\$, ou \$\frac{9}{27}\$ da área total. \$\frac{8}{27}<\frac{9}{27}\$, e, infelizmente, Jane tem que criar um novo design.

Simplificando a relação

Para encontrar rapidamente a solução para o problema, basta inserir 64 e 216 nos campos A e B (ou C e D), respectivamente, e pressionar "Calcular".

Resposta

$$64∶216=8∶27$$

Encontrando um valor faltante

Encontre um valor em falta na seguinte proporção: \$\frac{3}{99}=\frac{4}{x}\$.

Para resolver um valor de proporção desconhecido, usamos a fórmula de proporção. Ela afirma que o produto de meios é sempre igual ao produto de extremos na proporção. Podemos escrever a proporção dada da seguinte forma:

$$3:99=4:x$$

Nesta proporção 99 e 4 são os meios, e 3 e o valor desconhecido x são os extremos. Portanto, o valor x é o extremo:

$$3×X=4×99$$

e

$$x=\frac{4×99}{3}$$

$$x=\frac{396}{3}$$

$$x=132$$

Resposta

$$3∶99=4∶132$$

Exemplo 2

Helen quer contratar um tradutor para traduzir vários artigos do inglês para o japonês. O site do tradutor mostra uma taxa média de $20 para uma tradução de 600 palavras. Os artigos de Helen são cerca de 20.000 palavras ao todo. Como ela calculará o custo do pedido se o tradutor não estiver disposta a dar-lhe um desconto?

Por favor, insira algumas unidades equivalentes nos campos A e C e outras unidades equivalentes nos campos B e D. Neste exemplo, usamos A e С para a quantidade de palavras, e B e D para o dinheiro. Os campos A e B são para o primeiro caso (a taxa atual do tradutor), e os campos C e D são para o segundo caso (a taxa possível para o pedido da Helen).

• Você insere no campo A o número de palavras ao preço do tradutor - 600 palavras;
• No campo B, você insere o preço para 600 palavras, ou seja, 20;
• No campo C, você insere o número de palavras em seu pedido - 20.000;
• E no campo D, você recebe o resultado 666,66666666667

Então você pode arredondar o resultado para $667. Não esqueça que a Helen pode pedir um desconto para um pedido grande, mas $667 pode ser um ponto de partida nas negociações.

Exemplo 3

Jack está de férias na Indonésia e quer trocar seus dólares em dinheiro pela moeda local, a rupia indonésia. Ele precisa do dinheiro para pagar em dinheiro para alugar uma Yamaha X-Max Maxi-scooter, que custa 3.500.000 rupias por mês.

Ele sabe que hoje a taxa de câmbio no câmbio mais próximo ao seu hotel é de 14.750 rupias por um dólar americano. Quantos dólares ele precisa trocar para obter 3.500.000 rupias?

E novamente, usamos algumas unidades equivalentes nos campos A e C e outras unidades equivalentes nos campos B e D. Neste exemplo usamos A e С para rupias indonésias, e B e D para dólares americanos.

• Você insere na caixa A o número de rupias por dólar - isto é, 14.750;
• No campo B, você insere o equivalente a essa quantia em dólares - 1;
• No campo C, você insere o número de rupias que você deseja obter, ou seja, 3.500.000;
• No campo D, você receberá a quantia que deseja em dólares, ou seja, 237,28813559322

Acontece que se a agência de câmbio não aceita comissão, ele precisa trocar pelo menos US$237 para pagar o aluguel da scooter por um mês. O mais provável é que ele troque uma quantia mais redonda - $250 ou $300.

Usando a calculadora para encontrar a solução

Para usar a calculadora para comparar as duas razões, \$\frac{4}{16}\$ e \$\frac{3}{12}\$, digite 4 no campo A e 16 no campo B, para completar um lado da proporção. Digite 3 no campo C e 12 no campo D, para completar o outro lado da proporção. Em seguida, pressione "Calcular".

Resposta

$$4:16=3:12$$

É VERDADEIRO

Propriedades da proporção

A propriedade de proporção mais importante (e a mais útil) é a propriedade Meios-Extremos. As proporções, no entanto, têm algumas outras propriedades interessantes.

Os meios e os extremos permutam:

Se

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

Então, com a permutação dos meios, o seguinte é verdadeiro:

$$\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$$

E, com a permutação do extremo, o seguinte é verdadeiro:

$$\frac{d}{b}=\frac{c}{a}$$

Aumentar e diminuir a proporção pode ser feito de acordo com a seguinte regra:

Se

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

Então, a proporção pode ser aumentada da seguinte forma:

$$\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$$

E diminuida da seguinte forma:

$$\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}$$

Composição de uma proporção por adição e subtração Se

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

Então, o seguinte é verdade:

$$\frac{a+c}{b+d}=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

E

$$\frac{a-c}{b-d}=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

A proporção áurea

Na matemática, os dois valores estão em uma proporção áurea se a proporção do valor maior para o menor for a mesma que a proporção da soma desses valores para o valor maior. Ou, em termos matemáticos: para a>b>0, a proporção áurea pode ser escrita da seguinte forma:

$$\frac{a}{b}=\frac{a+b}{a}$$

O cérebro humano considera a proporção áurea a relação perfeita entre as partes e um todo. E a proporção áurea é frequentemente observada na natureza, na ciência e na arte.