เครื่องคำนวณ z-score

เครื่องคำนวณ z-score สามารถใช้กับการคำนวณที่เกี่ยวข้องกับ z-score ได้ทุกประเภท คุณสามารถป้อนคะแนนดิบ (X) ค่าเฉลี่ยประชากร (μ) และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน (σ) ในเครื่องคิดเลขเครื่องแรกเพื่อค้นหา z-score พร้อมขั้นตอนและความน่าจะเป็นที่เกี่ยวข้องกับคะแนนแถวนั้น

z-score และตัวแปลงความน่าจะเป็นช่วยให้คุณแปลงระหว่าง z-score และความน่าจะเป็นโดยไม่ต้องอ้างอิง z-table ผลลัพธ์จะรวมการคำนวณความน่าจะเป็นที่เป็นไปได้ทั้งหมดด้วย z-score เดี่ยวนั้น ใช้เครื่องคิดเลขตัวสุดท้ายเพื่อค้นหาความน่าจะเป็นระหว่าง 2 z-score

อะไรคือ z-score?

z-score คือการวัดทางสถิติที่อธิบายจำนวนค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของจุดข้อมูลจากค่าเฉลี่ยของชุดข้อมูล z-score ใช้เพื่อเปรียบเทียบจุดข้อมูลเดียวกับชุดข้อมูลทั้งหมด และช่วยกำหนดมาตรฐานข้อมูลเพื่อให้เปรียบเทียบและวิเคราะห์ได้ง่ายขึ้น

z-score ช่วยให้เราสามารถระบุได้ว่าจุดข้อมูลเดียว "ทั่วไป" หรือ "ผิดปรกติ" อย่างไรเมื่อเปรียบเทียบกับชุดข้อมูลทั้งหมด

• ตรวจจับค่าสุดโต่ง: z-score สามารถช่วยให้เราระบุจุดข้อมูลที่แตกต่างอย่างมีนัยสำคัญจากข้อมูลที่เหลือ สิ่งนี้มีประโยชน์ในด้านต่างๆ เช่น การวิจัยทางการเงินและการแพทย์ ซึ่งค่าสุดโต่งสามารถระบุรูปแบบหรือความผิดปกติที่สำคัญได้
• เปรียบเทียบข้อมูลจากชุดต่างๆ: z-score ช่วยให้เราสามารถเปรียบเทียบข้อมูลจากชุดต่างๆ ได้ แม้ว่าชุดเหล่านั้นจะมีหน่วยหรือช่วงต่างกันก็ตาม สิ่งนี้มีประโยชน์ในด้านต่างๆ เช่น การเรียนรู้ของเครื่อง ซึ่งคุณต้องเปรียบเทียบข้อมูลจากแหล่งต่างๆ เพื่อสร้างแบบจำลอง
• ทำให้ข้อมูลเป็นมาตรฐาน: ด้วยการแปลงข้อมูลเป็น z-score เราสามารถสร้างมาตรฐานข้อมูลและทำให้เปรียบเทียบและวิเคราะห์ได้ง่ายขึ้น สิ่งนี้มีประโยชน์ในด้านต่างๆ เช่น การแสดงข้อมูล ซึ่งเราต้องนำเสนอข้อมูลในลักษณะที่เข้าใจได้

สูตร z-score

z-score สำหรับประชากร

Z = คะแนนดิบ - ค่าเฉลี่ยประชากร / ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร

Z = (X - μ) / σ

z-score สำหรับตัวอย่าง

Z = คะแนนดิบ - ค่าเฉลี่ยตัวอย่าง / ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอย่าง

Z = (X - x̄) / s

การตีความผลลัพธ์ของ z-score ที่ได้รับ

z-score เชิงบวก: z-score เชิงบวกหมายความว่าจุดข้อมูลของคุณอยู่เหนือค่าเฉลี่ยของชุดข้อมูล กล่าวอีกนัยหนึ่ง จุดข้อมูลที่สังเกตได้ของคุณสูงกว่าค่าทั่วไปในชุดข้อมูล

z-score เชิงลบ: z-score เชิงลบหมายความว่าจุดข้อมูลของคุณต่ำกว่าค่าเฉลี่ยของชุดข้อมูล กล่าวอีกนัยหนึ่ง จุดข้อมูลที่สังเกตได้ของคุณต่ำกว่าค่าทั่วไปในชุดข้อมูล

z-score: z-score จะบอกคุณว่าจุดข้อมูลของคุณอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยชุดข้อมูลมากเพียงใด ยิ่ง z-score มากเท่าใด จุดข้อมูลที่สังเกตได้ก็จะยิ่งอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยมากขึ้นเท่านั้น

z-score และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

z-score และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานมีความสัมพันธ์กัน เนื่องจากค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานใช้ในการคำนวณ z-score ที่จริงแล้ว ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็นองค์ประกอบสำคัญของสูตร z-score

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานคือการวัดการแพร่กระจายของชุดข้อมูล โดยจะแสดงว่าจุดข้อมูลแต่ละจุดอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยของชุดข้อมูลมากเพียงใด ยิ่งค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานมากเท่าใด การกระจายตัวของข้อมูลก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น

ในทางกลับกัน z-score จะบอกคุณว่าจุดข้อมูลหนึ่งจุดอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยของชุดข้อมูลที่สัมพันธ์กับค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานมากเพียงใด เมื่อใช้ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานในการคำนวณ z-score คุณสามารถเปรียบเทียบจุดข้อมูลหนึ่งจุดกับชุดข้อมูลทั้งหมด และดูว่าจุดข้อมูลนั้นผิดปกติหรือปกติเพียงใด

z-score และการแจกแจงแบบปกติ

การแจกแจงแบบปกติเป็นการแจกแจงประเภทหนึ่งที่มักพบในปรากฏการณ์ต่างๆ ในโลกแห่งความเป็นจริง เป็นเส้นโค้งรูประฆังที่แสดงถึงการกระจายตัวของข้อมูลรอบๆ ค่าเฉลี่ยของชุดข้อมูล การแจกแจงแบบปกติเรียกอีกอย่างว่าการแจกแจงแบบเกาส์เซียน ตามชื่อนักคณิตศาสตร์ Carl Friedrich Gauss

z-score เป็นวิธีการวัดว่าจุดข้อมูลหนึ่งจุดอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยของชุดข้อมูลที่สัมพันธ์กับค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานแค่ไหน ด้วยการแปลงจุดข้อมูลแต่ละจุดเป็น z-score คุณสามารถเปรียบเทียบจุดข้อมูลแต่ละจุดกับชุดข้อมูลทั้งหมด และดูว่าจุดข้อมูลนั้นผิดปกติหรือปกติเพียงใด

การเชื่อมโยงระหว่าง z-score และการแจกแจงแบบปกติคือ z-score สามารถใช้เพื่อสร้างมาตรฐานของข้อมูลและปรับให้สอดคล้องกับการแจกแจงแบบปกติได้ ซึ่งหมายความว่าคุณสามารถแปลงชุดข้อมูลใดๆ เป็นการแจกแจงแบบปกติได้โดยการแปลงจุดข้อมูลแต่ละจุดเป็น z-score สิ่งนี้มีประโยชน์เนื่องจากวิธีการทางสถิติหลายวิธีถือว่าข้อมูลมีการกระจายแบบปกติ ดังนั้นการแปลงข้อมูลเป็นการแจกแจงแบบปกติสามารถช่วยให้คุณใช้วิธีการเหล่านี้ได้แม่นยำยิ่งขึ้น

การเปรียบเทียบจุดข้อมูล

z-score สามารถช่วยให้คุณเข้าใจว่าจุดข้อมูลหนึ่งจุดอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยของชุดข้อมูลที่สัมพันธ์กับค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานมากเพียงใด

ตัวอย่างของเราในการใช้ z-score เพื่อเปรียบเทียบจุดข้อมูลนำไปใช้กับการเงิน ตัวอย่างเช่น คุณได้ลงทุนในพอร์ตหุ้นสองพอร์ตที่แตกต่างกัน และต้องการเปรียบเทียบผลการดำเนินงาน ผลตอบแทนเฉลี่ยของพอร์ตโฟลิโอ A คือ 10% โดยมีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน 2% และผลตอบแทนเฉลี่ยของพอร์ตโฟลิโอ B คือ 8% โดยมีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน 3% ด้วยการแปลงผลตอบแทนเป็น z-score คุณสามารถเปรียบเทียบผลตอบแทนของแต่ละพอร์ตโฟลิโอและพิจารณาว่าพอร์ตใดมีประสิทธิภาพดีกว่า

อีกตัวอย่างที่เป็นประโยชน์ของการใช้ z-score เพื่อเปรียบเทียบจุดข้อมูลคือกีฬา ตัวอย่างเช่น คุณต้องการเปรียบเทียบประสิทธิภาพของผู้เล่นบาสเกตบอลสองคน ผู้เล่น A และผู้เล่น B ผู้เล่น A ทำคะแนนเฉลี่ย 20 คะแนนต่อเกมสำหรับค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน 5 คะแนน และผู้เล่น B ทำคะแนนเฉลี่ย 18 คะแนนต่อเกมสำหรับ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 3 คะแนน ด้วยการแปลงคะแนนเป็น z-score คุณสามารถเปรียบเทียบประสิทธิภาพของผู้เล่นแต่ละคนและพิจารณาว่าผู้เล่นคนใดมีผลงานดีกว่า

การทำให้ข้อมูลเป็นมาตรฐาน

การทำให้ข้อมูลเป็นมาตรฐานเป็นกระบวนการแปลงข้อมูลเป็นมาตราส่วนมาตรฐาน เพื่อให้สามารถเปรียบเทียบและวิเคราะห์ได้ง่าย นี่เป็นสิ่งสำคัญเนื่องจากข้อมูลสามารถมีรูปร่างและขนาดที่แตกต่างกันได้ และการทำให้ข้อมูลเป็นมาตรฐานช่วยให้มั่นใจได้ว่าข้อมูลจะอยู่ในระดับเดียวกัน และทำให้เปรียบเทียบและวิเคราะห์ได้ง่ายขึ้น

ด้วยการแปลงจุดแต่ละจุดเป็น z-score คุณสามารถกำหนดข้อมูลให้เป็นมาตรฐานและวางไว้ในระดับเดียวกันได้ เนื่องจาก z-score อยู่ในระดับมาตรฐานเสมอ โดยที่ค่าเฉลี่ยคือ 0 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานคือ 1

ตัวอย่างในทางปฏิบัติอย่างหนึ่งของการใช้ z-score เพื่อทำให้ข้อมูลเป็นมาตรฐานเกี่ยวข้องกับสาขาจิตวิทยา ตัวอย่างเช่น คุณต้องการเปรียบเทียบผลลัพธ์ของการทดสอบ IQ สองรายการ ได้แก่ การทดสอบ A และการทดสอบ B โดยการทดสอบ A มีคะแนนเฉลี่ย 100 โดยมีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 15 และการทดสอบ B มีคะแนนเฉลี่ย 110 โดยมีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 10 ด้วยการแปลงคะแนนเป็น z-score จะทำให้คะแนนสามารถเป็นมาตรฐานและลดลงเหลือระดับเดียวซึ่งอำนวยความสะดวกในการเปรียบเทียบและการวิเคราะห์

อีกตัวอย่างที่เป็นประโยชน์ของการใช้ z-score เพื่อทำให้ข้อมูลเป็นมาตรฐานคือในด้านการศึกษา ตัวอย่างเช่น คุณต้องการเปรียบเทียบคะแนนของนักเรียน 2 คน ได้แก่ นักเรียน A และนักเรียน B โดยนักเรียน A มีเกรดเฉลี่ย 80 โดยมีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน 5 และนักเรียน B มีเกรดเฉลี่ย 90 โดยมีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน 3 ด้วยการแปลงเกรดเป็น z-coefficients คุณสามารถกำหนดเกรดให้เป็นมาตรฐานและทำให้ทั้งหมดอยู่ในระดับเดียวกัน ซึ่งทำให้การเปรียบเทียบและการวิเคราะห์ง่ายขึ้น

การทดสอบสมมติฐาน

การทดสอบสมมติฐานเป็นเทคนิคทางสถิติที่ใช้ในการพิจารณาว่ามีหลักฐานเพียงพอที่จะปฏิเสธสมมติฐานว่างหรือไม่ หรือสมมติฐานมาตรฐานที่ว่าไม่มีความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรสองตัว เป็นสิ่งสำคัญในหลายสาขา รวมถึงการวิจัยทางการแพทย์ สังคมศาสตร์ และธุรกิจ ซึ่งการตัดสินใจโดยอาศัยข้อมูลเป็นสิ่งสำคัญ

เมื่อทดสอบสมมติฐาน สามารถใช้ z-coefficients เพื่อกำหนดความน่าจะเป็นที่ผลลัพธ์จะเกิดขึ้น ตัวอย่างเช่น คุณอาจทดสอบว่าน้ำหนักเฉลี่ยของกลุ่มคนแตกต่างจากน้ำหนักเฉลี่ยของประชากรทั้งหมดหรือไม่ คุณสามารถใช้ z-score เพื่อพิจารณาว่าความแตกต่างมีนัยสำคัญทางสถิติหรือไม่

ตัวอย่างที่เป็นประโยชน์อย่างหนึ่งของการใช้ z-score เพื่อทดสอบสมมติฐานคือในวงการแพทย์ ตัวอย่างเช่น คุณต้องการทดสอบว่ายาใหม่มีประสิทธิภาพในการลดอาการของโรคบางอย่างหรือไม่ คุณสามารถใช้ z-score เพื่อตรวจสอบว่าความแตกต่างในอาการระหว่างกลุ่มที่รับประทานยาและกลุ่มควบคุมมีนัยสำคัญทางสถิติหรือไม่

อีกตัวอย่างที่เป็นประโยชน์ของการใช้ z-score เพื่อทดสอบสมมติฐานคือในด้านการเงิน ตัวอย่างเช่น คุณต้องการทดสอบว่าหุ้นตัวใดตัวหนึ่งมีผลตอบแทนสูงกว่าหุ้นเฉลี่ยในตลาดหรือไม่ คุณสามารถใช้ z-score เพื่อพิจารณาว่าส่วนต่างของผลตอบแทนมีนัยสำคัญทางสถิติหรือไม่

การปรับขนาดคุณสมบัติ

การปรับขนาดฟีเจอร์เป็นเทคนิคที่ใช้ในเครื่องจักรการเรียนรู้และแอปพลิเคชันการวิเคราะห์ข้อมูลอื่นๆ เพื่อให้แน่ใจว่าฟีเจอร์ทั้งหมดในชุดข้อมูลมีขนาดเท่ากัน นี่เป็นสิ่งสำคัญเนื่องจากอัลกอริธึมการเรียนรู้ของเครื่องจักรบางตัวไวต่อขนาดของข้อมูล และสามารถสร้างผลลัพธ์ที่ไม่ถูกต้องได้หากขนาดไม่ตรงกัน

วิธีการหนึ่งที่ใช้กันทั่วไปในการปรับขนาดลักษณะคือการปรับมาตรฐาน z-score หรือที่เรียกว่าการทำให้เป็นมาตรฐาน ในกระบวนการนี้ แต่ละคุณลักษณะจะถูกแปลงเพื่อให้ค่าเฉลี่ยเป็น 0 และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานคือ 1 สูตรในการคำนวณ z-score ของคุณลักษณะมีดังนี้:

Z = (X - ค่าเฉลี่ย) / ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

โดยที่ X คือค่าของคุณลักษณะ ค่าเฉลี่ยคือค่าเฉลี่ยของคุณลักษณะ และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานคือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของคุณลักษณะ

ตัวอย่างการใช้งานจริงของการใช้ z-score เพื่อปรับขนาดคุณลักษณะต่างๆ อยู่ในด้านคอมพิวเตอร์วิทัศน์ เมื่อทำงานกับข้อมูลภาพ โดยปกติจะต้องปรับขนาดค่าพิกเซลให้อยู่ในช่วง 0 ถึง 1 ซึ่งสามารถทำได้โดยการปรับ z-score ให้เป็นมาตรฐาน เนื่องจากค่าพิกเซลแต่ละค่าสามารถแปลงได้เพื่อให้ค่าเฉลี่ยเท่ากับ 0 และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานคือ 1

อีกตัวอย่างที่เป็นประโยชน์ของการใช้ z-score สำหรับการปรับขนาดคุณลักษณะคือการประมวลผลภาษาธรรมชาติ เมื่อทำงานกับข้อมูลที่เป็นข้อความ เป็นเรื่องปกติที่จะปรับขนาดความถี่ของคำและความถี่ของเอกสารผกผัน (TF-IDF) เพื่อให้มีค่าอยู่ในช่วง 0 ถึง 1 ซึ่งสามารถทำได้โดยใช้การปรับมาตรฐาน z-score

การสร้างแบบจำลองเชิงคาดการณ์

การสร้างแบบจำลองเชิงทำนายเป็นเทคนิคที่ใช้ในเครื่องจักรการเรียนรู้และแอปพลิเคชันการวิเคราะห์ข้อมูลอื่นๆ เพื่อทำการคาดการณ์ตามข้อมูลในอดีต โดยเกี่ยวข้องกับการฝึกอบรมโมเดลบนชุดข้อมูลและการใช้โมเดลนั้นเพื่อคาดการณ์ข้อมูลใหม่ที่มองไม่เห็น

สิ่งสำคัญประการหนึ่งของการสร้างแบบจำลองเชิงคาดการณ์คือการเลือกคุณลักษณะ ซึ่งเกี่ยวข้องกับการเลือกคุณลักษณะที่เกี่ยวข้องมากที่สุดจากชุดข้อมูลเพื่อใช้ในแบบจำลอง บ่อยครั้งที่ลักษณะที่มีความสัมพันธ์สูงกับตัวแปรเป้าหมายเป็นที่ต้องการมากกว่า เนื่องจากมีแนวโน้มที่จะทำนายตัวแปรเป้าหมายได้มากกว่า

z-score สามารถใช้เพื่อระบุลักษณะที่มีความสัมพันธ์สูงกับตัวแปรเป้าหมายได้ เนื่องจากลักษณะที่มี z-score สูงมีแนวโน้มที่จะทำนายตัวแปรเป้าหมายได้ง่ายกว่า สูตรการคำนวณ z-score ของคุณลักษณะมีดังนี้:

Z = (X - ค่าเฉลี่ย) / ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

โดยที่ X คือค่าของคุณลักษณะ ค่าเฉลี่ยคือค่าเฉลี่ยของคุณลักษณะ และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานคือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของคุณลักษณะ

ตัวอย่างเชิงปฏิบัติของการใช้ z-score ในการสร้างแบบจำลองการพยากรณ์อาการเป็นของสาขาการเงิน เมื่อคาดการณ์ราคาหุ้นสามารถใช้ z-score ของผลการดำเนินงานในอดีตของหุ้นเพื่อกำหนดศักยภาพผลตอบแทนในอนาคต z-score ที่สูงบ่งชี้ว่าผลตอบแทนของหุ้นในอดีตนั้นสูงกว่าค่าเฉลี่ยมาก และสามารถคาดการณ์ผลตอบแทนที่สูงขึ้นได้ในอนาคต

อีกตัวอย่างที่เป็นประโยชน์ของการใช้ z-score ในการสร้างแบบจำลองการทำนายคือในด้านการดูแลสุขภาพ เมื่อคาดการณ์ผลลัพธ์ของผู้ป่วย สามารถใช้ z-score เพื่อกำหนดศักยภาพของผู้ป่วยสำหรับผลลัพธ์ในอนาคต z-score ที่สูงบ่งชี้ว่าผลลัพธ์ด้านสุขภาพของผู้ป่วยแย่กว่าค่าเฉลี่ยอย่างมาก และอาจบ่งบอกถึงผลลัพธ์ที่ไม่ดีในอนาคต

การใช้ตาราง z-score

z-table หรือที่เรียกว่าตารางปกติมาตรฐานหรือตารางปกติของหน่วย เป็นตารางที่มีค่ามาตรฐานที่ใช้ในการคำนวณความน่าจะเป็นที่สถิติที่กำหนดจะอยู่ด้านล่าง ด้านบน หรือระหว่างการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน

z	0	0.01	0.02	0.03	0.04	0.05	0.06	0.07	0.08	0.09
0	0	0.00399	0.00798	0.01197	0.01595	0.01994	0.02392	0.0279	0.03188	0.03586
0.1	0.03983	0.0438	0.04776	0.05172	0.05567	0.05962	0.06356	0.06749	0.07142	0.07535
0.2	0.07926	0.08317	0.08706	0.09095	0.09483	0.09871	0.10257	0.10642	0.11026	0.11409
0.3	0.11791	0.12172	0.12552	0.1293	0.13307	0.13683	0.14058	0.14431	0.14803	0.15173
0.4	0.15542	0.1591	0.16276	0.1664	0.17003	0.17364	0.17724	0.18082	0.18439	0.18793
0.5	0.19146	0.19497	0.19847	0.20194	0.2054	0.20884	0.21226	0.21566	0.21904	0.2224
0.6	0.22575	0.22907	0.23237	0.23565	0.23891	0.24215	0.24537	0.24857	0.25175	0.2549
0.7	0.25804	0.26115	0.26424	0.2673	0.27035	0.27337	0.27637	0.27935	0.2823	0.28524
0.8	0.28814	0.29103	0.29389	0.29673	0.29955	0.30234	0.30511	0.30785	0.31057	0.31327
0.9	0.31594	0.31859	0.32121	0.32381	0.32639	0.32894	0.33147	0.33398	0.33646	0.33891
1	0.34134	0.34375	0.34614	0.34849	0.35083	0.35314	0.35543	0.35769	0.35993	0.36214
1.1	0.36433	0.3665	0.36864	0.37076	0.37286	0.37493	0.37698	0.379	0.381	0.38298
1.2	0.38493	0.38686	0.38877	0.39065	0.39251	0.39435	0.39617	0.39796	0.39973	0.40147
1.3	0.4032	0.4049	0.40658	0.40824	0.40988	0.41149	0.41308	0.41466	0.41621	0.41774
1.4	0.41924	0.42073	0.4222	0.42364	0.42507	0.42647	0.42785	0.42922	0.43056	0.43189
1.5	0.43319	0.43448	0.43574	0.43699	0.43822	0.43943	0.44062	0.44179	0.44295	0.44408
1.6	0.4452	0.4463	0.44738	0.44845	0.4495	0.45053	0.45154	0.45254	0.45352	0.45449
1.7	0.45543	0.45637	0.45728	0.45818	0.45907	0.45994	0.4608	0.46164	0.46246	0.46327
1.8	0.46407	0.46485	0.46562	0.46638	0.46712	0.46784	0.46856	0.46926	0.46995	0.47062
1.9	0.47128	0.47193	0.47257	0.4732	0.47381	0.47441	0.475	0.47558	0.47615	0.4767
2	0.47725	0.47778	0.47831	0.47882	0.47932	0.47982	0.4803	0.48077	0.48124	0.48169
2.1	0.48214	0.48257	0.483	0.48341	0.48382	0.48422	0.48461	0.485	0.48537	0.48574
2.2	0.4861	0.48645	0.48679	0.48713	0.48745	0.48778	0.48809	0.4884	0.4887	0.48899
2.3	0.48928	0.48956	0.48983	0.4901	0.49036	0.49061	0.49086	0.49111	0.49134	0.49158
2.4	0.4918	0.49202	0.49224	0.49245	0.49266	0.49286	0.49305	0.49324	0.49343	0.49361
2.5	0.49379	0.49396	0.49413	0.4943	0.49446	0.49461	0.49477	0.49492	0.49506	0.4952
2.6	0.49534	0.49547	0.4956	0.49573	0.49585	0.49598	0.49609	0.49621	0.49632	0.49643
2.7	0.49653	0.49664	0.49674	0.49683	0.49693	0.49702	0.49711	0.4972	0.49728	0.49736
2.8	0.49744	0.49752	0.4976	0.49767	0.49774	0.49781	0.49788	0.49795	0.49801	0.49807
2.9	0.49813	0.49819	0.49825	0.49831	0.49836	0.49841	0.49846	0.49851	0.49856	0.49861
3	0.49865	0.49869	0.49874	0.49878	0.49882	0.49886	0.49889	0.49893	0.49896	0.499
3.1	0.49903	0.49906	0.4991	0.49913	0.49916	0.49918	0.49921	0.49924	0.49926	0.49929
3.2	0.49931	0.49934	0.49936	0.49938	0.4994	0.49942	0.49944	0.49946	0.49948	0.4995
3.3	0.49952	0.49953	0.49955	0.49957	0.49958	0.4996	0.49961	0.49962	0.49964	0.49965
3.4	0.49966	0.49968	0.49969	0.4997	0.49971	0.49972	0.49973	0.49974	0.49975	0.49976
3.5	0.49977	0.49978	0.49978	0.49979	0.4998	0.49981	0.49981	0.49982	0.49983	0.49983
3.6	0.49984	0.49985	0.49985	0.49986	0.49986	0.49987	0.49987	0.49988	0.49988	0.49989
3.7	0.49989	0.4999	0.4999	0.4999	0.49991	0.49991	0.49992	0.49992	0.49992	0.49992
3.8	0.49993	0.49993	0.49993	0.49994	0.49994	0.49994	0.49994	0.49995	0.49995	0.49995
3.9	0.49995	0.49995	0.49996	0.49996	0.49996	0.49996	0.49996	0.49996	0.49997	0.49997
4	0.49997	0.49997	0.49997	0.49997	0.49997	0.49997	0.49998	0.49998	0.49998	0.49998

ในการใช้ z-table คุณจะต้องค้นหาแถวที่สอดคล้องกับ z-score ที่คุณคำนวณได้ จากนั้นหาคอลัมน์ที่เกี่ยวข้องซึ่งให้พื้นที่ (ความน่าจะเป็น) ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐาน ค่าที่ได้คือความน่าจะเป็นโดยประมาณที่ตัวแปรสุ่มจากการแจกแจงแบบปกติมาตรฐานจะน้อยกว่าหรือเท่ากับ z-score ที่คำนวณได้

ตัวอย่างเช่น หากคุณมี z-score เท่ากับ 1.96 คุณจะดูใน z-table เพื่อหาแถวที่ตรงกับ 1.9 และคอลัมน์ที่ตรงกับ 0.06 ค่าผลลัพธ์ที่ได้จะทำให้คุณมีพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานทางด้านขวาของ 1.96 ค่านี้อยู่ที่ประมาณ 0.975 ซึ่งหมายความว่าประมาณ 97.5% ของข้อมูลจากการแจกแจงแบบปกติมาตรฐานจะน้อยกว่าหรือเท่ากับ 1.96

สิ่งสำคัญที่ควรทราบก็คือ z-table ใช้ได้กับการกระจายแบบปกติมาตรฐานที่มีค่าเฉลี่ย 0 และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็น 1 เท่านั้น หากข้อมูลของคุณไม่เป็นไปตามการกระจายนี้ คุณจะต้องทำให้เป็นมาตรฐานก่อนโดยการแปลงข้อมูลเป็น z-score

การหาความน่าจะเป็นจาก z-score

เมื่อเราแปลงตัวแปรแบบกระจายแบบปกติให้เป็น z-score เราสามารถใช้ตาราง z-score และค้นหาสัดส่วนของพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ พื้นที่ทั้งหมดภายใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานเท่ากับ 1 ดังนั้น สัดส่วนของพื้นที่ที่ครอบคลุมในเส้นโค้งปกติจะเท่ากับความน่าจะเป็นของ z-score นั้น

ตัวอย่างที่ 1

น้ำหนักของนักมวยปกติจะกระจายโดยมีค่าเฉลี่ย 75 กิโลกรัม และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 3 กิโลกรัม ความน่าจะเป็นที่น้ำหนักของผู้เล่นที่ถูกสุ่มเลือกคือเท่าใด

ก) มากกว่า 78 กิโลกรัม? ข) น้อยกว่า 69 กิโลกรัม? ค) มากกว่า 72 กิโลกรัม? ง) น้อยกว่า 79.5 กิโลกรัม? จ) อยู่ระหว่าง 72 กิโลกรัม และ 76.5 กิโลกรัม? ฉ) อยู่ระหว่าง 72 กิโลกรัม และ 73.5 กิโลกรัม?

ก) ความน่าจะเป็นที่ผู้เล่นสุ่มเลือกจะมีน้ำหนักมากกว่า 78 กิโลกรัมเป็นเท่าใด?

X > 78 μ = 75 σ = 3

$$P(X>78)=P\left(Z>\frac{X-μ}{σ}\right)=P\left(Z>\frac{78-75}{3}\right)=P(Z>1)$$

ขั้นแรก เราจะวาดสิ่งนี้ใน z-curve

ตอนนี้เราจะใช้ z-table เพื่อค้นหาความน่าจะเป็นที่เกี่ยวข้องสำหรับ z-score ที่คำนวณได้

โปรดจำไว้ว่า z-score ให้ความน่าจะเป็นระหว่าง z-score และค่าเฉลี่ยเสมอ เพื่อให้ได้ความน่าจะเป็นของพื้นที่ที่สำคัญในกราฟ เราต้องลดความน่าจะเป็นนั้นลงจาก 0.5 (ความน่าจะเป็นรวมใต้เส้นโค้งคือ 1 และค่าเฉลี่ยของการแจกแจงแบบมาตรฐานแบ่งเท่าๆ กันเป็น 2 ส่วน ดังนั้น ความน่าจะเป็นจากจุดเฉลี่ยไปยังด้านใดด้านหนึ่งของจุดสิ้นสุดคือ 0.5)

P (X > 78) = P (Z > 1) P (X > 78) = 0.5 - P(0 < Z < 1) P (X > 78) = 0.5 - 0.3413 P (X > 78) = 0.1587

ดังนั้น จึงมีความน่าจะเป็น 0.1587 ที่น้ำหนักของผู้เล่นที่ถูกสุ่มเลือกจะมากกว่า 78 กิโลกรัม

ข) ความน่าจะเป็นที่ผู้เล่นสุ่มเลือกจะมีน้ำหนักน้อยกว่า 69 กิโลกรัมเป็นเท่าใด?

X < 69 μ = 75 σ = 3

$$P(X<69)=P\left(Z>\frac{X-μ}{σ}\right)=P\left(Z>\frac{69-75}{3}\right)=P(Z<-2)$$

ขั้นแรก เราจะวาดสิ่งนี้ใน z-curve

ตอนนี้เราจะใช้ z-table เพื่อค้นหาความน่าจะเป็นที่เกี่ยวข้องสำหรับ z-score ที่คำนวณได้

โปรดจำไว้ว่า z-score ให้ความน่าจะเป็นระหว่าง z-score และค่าเฉลี่ยเสมอ เพื่อให้ได้ความน่าจะเป็นของพื้นที่ที่สำคัญในกราฟ เราต้องลดความน่าจะเป็นนั้นลงจาก 0.5

P (X < 69) = P (Z < 69) P (X < 69) = 0.5 - P (0 > Z > -2) P (X < 69) = 0.5 - 0.4772 P (X < 69) = 0.0228

ดังนั้น จึงมีความน่าจะเป็น 0.0228 ที่น้ำหนักของผู้เล่นที่ถูกสุ่มเลือกจะน้อยกว่า 69 กิโลกรัม

ค) ความน่าจะเป็นที่น้ำหนักของผู้เล่นที่ถูกสุ่มเลือกคือเท่าไรระหว่าง 72 กิโลกรัม ถึง 76.5 กิโลกรัม เป็นเท่าใด?

72 < X < 76.5 μ = 75 σ = 3

$$P(72 \lt X \lt 76.5)=P\left(\frac{X-μ}{σ} \lt Z \lt \frac{X-μ}{σ}\right)=P\left(\frac{72-75}{3} \lt Z \lt \frac{76.5-75}{3}\right)=P(-1 \lt Z \lt 0.5)$$

ขั้นแรก เราจะวาดสิ่งนี้ใน z-curve

ตอนนี้เราจะใช้ z-table เพื่อค้นหาความน่าจะเป็นที่เกี่ยวข้องสำหรับ z-score ที่คำนวณได้

โปรดจำไว้ว่า z-score ให้ความน่าจะเป็นระหว่าง z-score และค่าเฉลี่ยเสมอ หากต้องการทราบความน่าจะเป็นของพื้นที่ที่สำคัญในกราฟ คุณสามารถบวกความน่าจะเป็นของ z-score 2 ตัวเข้าด้วยกันได้

P (72 < X < 76.5) = P (-1 < Z < 0.5) P (72 < X < 76.5) = 0.3413 + 0.1915 P (72 < X < 76.5) = 0.5328

ดังนั้น จึงมีความน่าจะเป็น 0.5328 ที่น้ำหนักของผู้เล่นที่ถูกสุ่มเลือกจะอยู่ระหว่าง 72 กิโลกรัม ถึง 76.5 กิโลกรัม

ในกรณีนี้ คุณต้องใช้เครื่องคำนวณความน่าจะเป็นระหว่างเครื่องคำนวณ z-score สองตัวเพื่อค้นหาคำตอบอย่างรวดเร็ว

การค้นหาค่าที่สอดคล้องกันสำหรับความน่าจะเป็นที่ระบุ

เมื่อเรารู้ว่าการแจกแจงเป็นเรื่องปกติ เราจะสามารถค้นหาค่าที่สอดคล้องกันสำหรับความน่าจะเป็นที่ระบุโดยยึดตาม z-score

ตัวอย่างที่ 2

คะแนนของผู้สมัครในการสอบแข่งขันจะมีการแจกแจงตามปกติโดยประมาณ โดยมีค่าเฉลี่ย 55 และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน 10 หากผู้สมัคร 30% แรกผ่านการทดสอบ ให้ค้นหาคะแนนผ่านขั้นต่ำ

วิธีแก้

ในกรณีนี้ เราต้องค้นหา z-score ที่สอดคล้องกันสำหรับความน่าจะเป็นหรือเปอร์เซ็นต์ที่กำหนดก่อน

ในการหา z-score เราจำเป็นต้องค้นหาความน่าจะเป็นในพื้นที่ที่สำคัญไว้

หาได้โดยการหัก 0.30 จาก 0.50 ดังนั้น ความน่าจะเป็นของพื้นที่ที่เน้นคือ 0.20

ทีนี้ ใน z-table เราต้องหาความน่าจะเป็นที่ใกล้เคียงที่สุดกับ 0.20 z-score ที่สอดคล้องกันคือ 0.524

จากนั้น เราจะต้องค้นหาค่า X โดยใช้สูตร z-score

Z = (X - μ)/σ 0.524 = (X - 55)/10 X = (0.524 × 10) + 55 X = 60.24

ดังนั้น คะแนนสอบผ่านขั้นต่ำคือ 60.24