Kalkulator Standar Deviasi dan Batas Kesalahan

Kalkulator standar deviasi (atau simpangan baku) dirancang untuk menghitung standar deviasi dari sekumpulan data dengan cepat dan akurat. Selain itu, kalkulator ini juga menyediakan statistik deskriptif penting lainnya, termasuk nilai rata-rata (mean) dan varians. Alat ukur statistik ini juga mampu menghitung selang kepercayaan (confidence interval) dari himpunan data pada berbagai tingkat kepercayaan, sekaligus menyajikan tabel distribusi frekuensinya secara otomatis.

Untuk menggunakan alat ini, cukup masukkan rentetan data Anda ke dalam kolom yang tersedia dan pisahkan dengan tanda koma. Selanjutnya, pilih apakah sekumpulan data tersebut mewakili populasi atau sampel, lalu klik tombol "Hitung." Anda juga dapat menggunakan tombol "Hapus" untuk membersihkan formulir dan mulai memasukkan himpunan data yang baru.

Standar Deviasi

Standar deviasi (simpangan baku) adalah ukuran statistik yang menunjukkan tingkat penyebaran atau variabilitas dalam sekumpulan data. Nilai ini menggambarkan rata-rata jarak atau kedekatan antara setiap titik data terhadap nilai rata-rata (mean) dari keseluruhan himpunan data tersebut. Semakin kecil nilai standar deviasi, semakin dekat titik data dengan nilai mean. Sebaliknya, semakin besar standar deviasinya, semakin jauh titik data tersebar dari mean. Secara matematis, standar deviasi adalah akar kuadrat dari ukuran penyebaran lain yang disebut varians.

Cara menghitung standar deviasi sangat bergantung pada karakteristik data Anda. Jika data tersebut mencakup seluruh subjek yang sedang diteliti, maka metrik yang dihitung disebut sebagai standar deviasi populasi. Namun, jika himpunan data tersebut hanya diambil sebagian sebagai perwakilan populasi, metriknya disebut sebagai standar deviasi sampel.

Standar Deviasi Populasi

Standar deviasi populasi digunakan apabila himpunan data mewakili seluruh populasi target. Artinya, data tersebut mencakup setiap pengamatan atau observasi yang ada tanpa terkecuali. Standar deviasi populasi dilambangkan secara matematis dengan simbol σ.

σ adalah huruf kecil dari abjad Yunani yang dibaca sebagai Sigma. Rumus standar deviasi populasi adalah sebagai berikut:

$$\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}{(x_i-\mu)^2}}{N}}$$

Di mana:

• Σ adalah huruf kapital Yunani Sigma, yang melambangkan operasi penjumlahan dalam matematika;
• xᵢ mewakili setiap titik data (setiap observasi dalam himpunan data), mulai dari data pertama hingga data ke-N (terakhir);
• μ mewakili nilai rata-rata (mean) populasi;
• N adalah jumlah keseluruhan ukuran populasi.

Contoh penghitungan standar deviasi populasi umum

Berikut adalah contoh skenario untuk menunjukkan cara menghitung standar deviasi pada populasi data riil.

Para investor kerap kali melihat instrumen saham sebagai aset yang berisiko karena tingkat volatilitas (fluktuasi) harganya yang tinggi dibandingkan kelas aset lain. Seorang manajer investasi sedang menganalisis volatilitas harga dari sebuah saham selama satu bulan terakhir. Ia memiliki aturan: tidak akan merekomendasikan saham yang nilai standar deviasinya lebih besar atau sama dengan nilai rata-ratanya, karena ia menganggap saham dengan profil tersebut "terlalu berisiko" bagi klien.

Di bawah ini adalah data historis lengkap dari harga penutupan harian saham (dalam dolar Amerika) untuk bulan lalu. Mari kita hitung standar deviasinya dan tentukan apakah manajer investasi tersebut menganggap saham ini "terlalu berisiko":

1,31, 1,30, 1,36, 1,40, 1,40, 1,41, 1,27, 1,19, 1,15, 1,12, 0,99, 1,00, 0,97, 0,94, 0,88, 0,90, 0,86, 0,88, 0,80, 0,81

Perlu dicatat bahwa sang manajer hanya tertarik pada data harga saham di bulan sebelumnya. Karena angka-angka di atas merupakan keseluruhan harga penutupan pada bulan tersebut, kita bisa menyimpulkan bahwa data ini adalah sebuah populasi. Oleh karena itu, kita akan menghitung volatilitasnya menggunakan rumus standar deviasi populasi.

Langkah pertama untuk menghitung standar deviasi adalah mencari nilai rata-rata (mean). Mean (μ) diperoleh dengan menjumlahkan seluruh titik data, kemudian dibagi dengan total observasi (N).

$$\mu=\frac{1,31+1,30+1,36+1,40+1,40+1,41+1,27+1,19+1,15+1,12+0,99+1,00+0,97+0,94+0,88+0,90+0,86+0,88+0,80+0,81}{20}=1,097$$

Selanjutnya, kurangi nilai mean dari setiap nilai data, lalu kuadratkan selisihnya. Jumlahkan seluruh hasil kuadrat tersebut, dan bagi dengan jumlah ukuran populasi. Hasil dari perhitungan ini adalah nilai varians, atau σ².

$$\sigma^2=\frac{\left(1,31-1,097\right)^2+\left(1,30-1,097\right)^2+\left(1,36-1,097\right)^2+\left(1,40-1,097\right)^2+\ldots+\left(0,81-1,097\right)^2}{20}=0,045031$$

Langkah terakhir, tarik akar kuadrat dari nilai varians tersebut untuk mendapatkan nilai standar deviasi populasi.

$$\sigma=\sqrt{0,045031}\approx0,21$$

Seperti yang dapat Anda lihat, tingkat standar deviasi dari harga saham di bulan sebelumnya (0,21) jauh lebih kecil daripada nilai rata-ratanya (1,097). Kesimpulannya, manajer investasi tersebut tidak akan menganggap saham ini "terlalu berisiko".

Standar Deviasi Sampel

Standar deviasi sampel dihitung jika data yang kita kumpulkan hanya sebagian kecil yang mewakili keseluruhan populasi yang ingin dipelajari. Himpunan data jenis ini merupakan bagian (subset) acak yang lebih kecil dari seluruh kumpulan observasi. Standar deviasi sampel umumnya dilambangkan dengan huruf s, dan dihitung menggunakan rumus berikut:

$$s=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_i-\bar{x}\right)^2}{n-1}}$$

Di mana:

• Σ menunjukkan penjumlahan matematika;
• xᵢ mewakili setiap titik data dalam sampel;
• x̄ mewakili nilai rata-rata (mean) dari sampel;
• n adalah jumlah ukuran sampel.

Mari kita ilustrasikan cara mencari standar deviasi sampel menggunakan contoh manajer investasi di atas. Namun pada skenario kali ini, sang manajer tidak memiliki akses ke rekaman data perdagangan harian yang lengkap dari bulan sebelumnya. Ia hanya memegang data sampel acak berupa harga penutupan selama 5 hari. Karena situasinya seperti ini, ia akan mengestimasi standar deviasi harga saham menggunakan sampel yang terbatas.

Asumsikan ia memiliki sampel harga penutupan untuk 5 hari berikut ini:

1,31, 1,40, 0,86, 0,88, 1,40

Ingatlah bahwa target penelitian sang manajer sebenarnya adalah keseluruhan harga saham bulan sebelumnya. Karena ia tidak memiliki data utuh melainkan hanya 5 harga acak, kita saat ini berhadapan dengan perhitungan statistik sampel. Maka, perhitungan standar deviasinya harus menggunakan rumus standar deviasi sampel.

Pertama, temukan nilai rata-rata (mean) dari sampel (x̄).

$$\bar{x}=\frac{1,31+1,40+0,86+0,88+1,40}{5}=1,17$$

Kemudian, hitung nilai varians sampelnya (s²).

$$s^2=\frac{\left(1,31-1,17\right)^2+\left(1,40-1,17\right)^2+\left(0,86-1,17\right)^2+\left(0,88-1,17\right)^2+\left(1,40-1,17\right)^2}{5-1}=0,0764$$

Langkah terakhir, akar kuadratkan nilai varians tersebut untuk menemukan persentase volatilitas atau standar deviasi.

$$s=\sqrt{0,0764}\approx 0,28$$

Batas Kesalahan (Margin of Error)

Salah satu fungsi utama dari standar deviasi adalah menghitung rentang deviasi nilai yang dianggap "normal" atau masih dapat diterima. Konsep ini sangat penting di dunia statistik, baik untuk kepentingan analisis prediktif maupun pengawasan kualitas (quality assurance) di sektor industri. Jika distribusi probabilitas dari data yang dikaji bersifat normal, maka bentang toleransi ini dikenal sebagai rentang atau selang kepercayaan (confidence interval), yang diukur dalam berbagai tingkat kepercayaan (biasanya ditunjukkan dalam persentase).

Batas kesalahan (Margin of Error) adalah komponen penyusun yang menentukan rentang lebar sebuah selang kepercayaan. Artinya, batas kesalahan secara langsung menentukan nilai titik tertinggi (maksimum) dan terendah (minimum) yang dapat ditoleransi terhadap parameter populasi asli yang sedang diprediksi.

Margin kesalahan dihitung menggunakan rumus matematis:

$$Margin\ kesalahan = z_{\alpha/2}\left(\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$

Rumus di atas diterapkan bila standar deviasi populasi asli, σ, diketahui. Pada saat bersamaan, jumlah ukuran sampel juga harus diasumsikan cukup besar (aturan praktisnya, n > 30).

Sebaliknya, apabila standar deviasi populasi dasar tidak diketahui sementara ukuran pengamatan sampel termasuk kecil (umumnya n ≤ 30), maka alternatif rumusnya adalah:

$$Margin\ kesalahan = t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

Dalam rumus kedua ini, yang digunakan adalah standar deviasi dari sampel, disimbolkan s, guna menggantikan keberadaan σ (standar deviasi populasi) yang belum diketahui.

Adapun \$z_{\alpha/2}\$ dan \$t_{n-1, \alpha/2}\$ merupakan nilai kritis (critical values), yang masing-masing didapatkan dari uji z dan uji t statistik. Besaran ini adalah konstanta spesifik yang secara langsung terikat pada tingkat probabilitas kepercayaan yang Anda tuju.

Tingkat rentang kepercayaan yang lazim dipakai adalah 90%, 95%, dan 99%. Koefisien \$z_{\alpha/2}\$ untuk batas-batas ini secara berurutan bernilai 1,645 (untuk selang 90%), 1,96 (untuk selang 95%), dan 2,575 (untuk selang 99%).

Variabel pecahan \$\frac{\sigma}{\sqrt n}\$ dan \$\frac{s}{\sqrt n}\$ pada rumus di atas dikenal sebagai kesalahan standar (standard error).

• \$\frac{\sigma}{\sqrt n}\$ dipilih ketika kita memegang data populasi dasar secara utuh (σ) atau ukuran sampel pengamatan cukup masif (biasanya n > 30).
• \$\frac{s}{\sqrt n}\$ diaplikasikan saat tidak tersedianya standar deviasi populasi dengan jumlah pengamatan terbatas (biasanya n ≤ 30). Akibatnya, kita mengandalkan estimasi proksi dengan memanfaatkan standar deviasi himpunan sampel acak, s.

Selang Kepercayaan (Confidence Interval)

Berdasarkan penjelasan sebelumnya, selang kepercayaan (confidence interval) adalah sebuah interval atau proyeksi rentang di mana sebuah estimasi populasi diprediksi berada, yang dibatasi pada level persentase probabilitas tertentu.

Sebagai contoh sederhana, dengan tingkat probabilitas/kepercayaan 90%, kita dapat mengatakan bahwa tinggi badan anak perempuan pada umur 13 tahun diperkirakan berada di rentang 150 cm hingga 167 cm. Pernyataan ini menyiratkan: jika kita berulang kali memilih sebuah kelompok acak anak perempuan berumur 13 tahun, sekitar 90% frekuensi rata-rata kelompok akan jatuh pada selang (interval) yang disebutkan di atas.

Cara mencari selang kepercayaan adalah menggunakan rumusan ini:

$$\bar{x}± z_{\alpha/2}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$

• x̄ melambangkan mean (rata-rata) sampel,
• \$z_{\alpha/2}\$ merupakan nilai kritis yang dihasilkan dari tabel Z,
• σ merupakan simpangan baku/standar deviasi populasi,
• n merupakan besaran ukuran dari sampel (jumlah titik sampel pengamatan).

Jika standar deviasi dari target sampel (σ) masih menjadi faktor yang belum terkuak, sehingga memaksa kita memasukkan variabel s, rumusan lain yang digunakan adalah:

$$\bar{x}± t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

• x̄ merupakan ukuran mean sampel,
• \$t_{n-1,\alpha/2}\$ mempresentasikan nilai titik kritis dari tabel t,
• s adalah variabel pembawa nilai standar deviasi sampel,
• n merupakan besaran kelompok observasi.

Mengingat ulang materi sebelumnya, kita mendapati bahwa segmen dari rumusan \$z_{\alpha/2}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\$ beserta \$t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)\$ tidak lain merupakan margin atau batas kesalahan.

Contoh penghitungan selang kepercayaan

Asumsikan kita mengerti bahwa deretan harga saham harian mematuhi kaidah distribusi probabilitas yang normal. Deretan harga saham berikut hanyalah sampel acak:

1,31, 1,36, 1,40, 1,27, 1,15, 0,99, 0,97, 0,88, 0,86, 0,80

Kita bertugas menentukan jangkauan prediksi atas fluktuasi yang terjadi, dengan jaminan kepastian atau tingkat kepercayaan setinggi 95%.

Mengingat ukuran sampelnya di bawah rasio 30, disertai absennya data standar deviasi populasi keseluruhan, kita mutlak menggunakan rumus berbasis sampel beserta perhitungan t-test (uji t) seperti penjabaran di bawah:

$$\bar{x}± t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

• x̄ adalah mean dari sekumpulan observasi sampel, yakni 1,10
• \$t_{n-1,\alpha/2}\$ adalah faktor kritis distribusinya, yaitu \$t_{9, 0,025}\$ = 2,26 (karena n=10, ukuran nilai kritis terkait ini lazim dihitung via pencocokan persimpangan baris dan kolom pada tabel distribusi t)
• s mempresentasikan standar deviasi sampel, bernilai 0,23
• n atau ukuran frekuensi himpunan datanya, bernilai 10,
• \$\frac{s}{\sqrt n}\$ merupakan ukuran kesalahan standarnya \$\frac{0,23}{\sqrt{10}}=0,07\$

Kini kita mulai subtitusikan berbagai konstanta di atas kepada perhitungan selang kepercayaannya:

$$\bar{x}± t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

Sehingga modelnya berubah wujud menjadi:

$$1,10 - 2,26 (\frac{0,23}{\sqrt{10}}) = 1,10 - 2,26 (\frac{0,23}{3,16}) = 1,10 - 2,26 × 0,07 = 1,10 - 0,16 = 0,94$$

$$1,10 + 2,26 (\frac{0,23}{\sqrt{10}}) = 1,10 + 2,26 (\frac{0,23}{3,16}) = 1,10 + 2,26 × 0,07 = 1,10 + 0,16 = 1,26$$

Temuan ini membuktikan bahwa kita memperoleh 95% persentase kepastian (kepercayaan) bahwa distribusi fluktuasi rerata nilai pergerakan harian harga saham berayun dalam interval (0,94; 1,26).