Kikokotoo cha Permuteresheni

Kikokotoo chetu cha permuteresheni hubaini idadi kamili ya njia unazoweza kupanga vitu n tofauti, ukichukua sampuli ya vipengele r kwa wakati mmoja. Hukokotoa idadi ya mipangilio inayowezekana kwa vikundi ambapo mtiririko maalum au mpangilio wa vipengele ni muhimu sana. Idadi ya jumla ya vitu vinavyopatikana inaonyeshwa kwa n, huku idadi ya vipengele katika kila kikundi kilichochaguliwa ikionyeshwa kwa r.

Kwa mfano, tukitaka kupanga herufi XYZ katika vikundi vya herufi mbili kila kimoja, tunaweza kuunda XY, XZ, YZ, YX, ZX, na ZY, na kusababisha njia 6 tofauti.

Ili kutumia kikokotoo hiki cha nPr, ingiza tu n (idadi ya jumla ya vitu vinavyopaswa kupangwa) na r (idadi ya vipengele katika kila kikundi cha sampuli), kisha ubofye "Kokotoa".

Permuteresheni

Katika hisabati, permuteresheni ni mpangilio wa wanachama wa seti katika mtiririko au mpangilio maalum. Ikiwa seti tayari imepangwa, kupanga upya vipengele vyake huunda permuteresheni mpya. Katika permuteresheni yoyote, mpangilio wa vipengele ni muhimu kabisa. Kwa mfano, mfuatano wa AB na BA unawakilisha permuteresheni mbili tofauti kabisa. Idadi ya jumla ya permuteresheni za vitu n zilizochukuliwa katika sampuli za vitu r kwa kawaida huonyeshwa kama nPr.

Kukokotoa idadi ya permuteresheni kunategemea sana aina ya vitu vinavyopangwa na kama marudio yanaruhusiwa. Isipokuwa imeelezwa vinginevyo, kwa ujumla inachukuliwa kuwa marudio hayaruhusiwi wakati wa kukokotoa permuteresheni.

Katika makala haya, tutazingatia pekee mifano ya permuteresheni bila marudio.

Permuteresheni hutegemea kanuni ya msingi ya kuhesabu. Kanuni hii inasema kwamba ikiwa jaribio linajumuisha matukio mfululizo k, ambapo tukio la kwanza linaweza kutokea kwa njia n₁, la pili kwa njia n₂, na kuendelea hadi tukio la mwisho kutokea kwa njia nₖ, idadi ya jumla ya njia ambazo jaribio linaweza kutokea ni zao la matukio haya binafsi: n₁ × n₂ × ... × nₖ.

Tuseme tunataka kubaini idadi ya permuteresheni zinazowezekana kwa herufi ABC bila marudio yoyote. Yoyote kati ya herufi hizo tatu inaweza kuwekwa kwanza, ikimaanisha kuna njia 3 za kuweka herufi ya kwanza.

Baada ya herufi ya kwanza kuwekwa, herufi mbili zinasalia. Yoyote kati ya hizi mbili inaweza kuchaguliwa kama herufi ya pili, na kutupa njia 2 za kuweka herufi ya pili. Baada ya herufi ya pili kuchaguliwa, herufi moja tu inasalia, ikimaanisha kuna njia 1 pekee ya kuweka herufi ya tatu.

Kwa kutumia kanuni ya msingi ya kuhesabu, kuna jumla ya njia 3 × 2 × 1 = 6 za kupanga herufi ABC. Mipangilio hii ni ABC, ACB, BCA, BAC, CAB, na CBA.

Faktoria

Kama inavyoonyeshwa hapo juu, idadi ya permuteresheni za vitu 3 tofauti inakokotolewa kama 3 × 2 × 1 = 6. Kwa ujumla, idadi ya permuteresheni kwa ajili ya kupanga seti nzima ya vitu n hutolewa kwa n × (n-1) × (n-2) × ... × 1.

Hii inahusisha kuzidisha nambari kamili zote chanya kuanzia n kwenda chini hadi 1. Katika hisabati, zao la nambari kamili n na nambari kamili zote chanya zilizo chini yake inaitwa faktoria, ambayo inaonyeshwa na alama ya mshangao (!).

Kwa hivyo, n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 1, na inatamkwa kama "faktoria ya n".

Kumbuka kuwa kwa kanuni za kihisabati, 0! = 1 na 1! = 1.

Mfano wa Permuteresheni

Uwanja wa kawaida wa mbio fupi kwenye Michezo ya Olimpiki una njia 9. Hata hivyo, kwa mbio za mita 100, njia ya 1 mara nyingi huachwa wazi. Badala yake, wakimbiaji 8 huwekwa kwenye njia ya 2 hadi ya 9. Je, ni kwa njia ngapi zinazowezekana wakimbiaji hawa 8 wanaweza kupangwa kwenye njia ya 2 hadi ya 9?

Kwa kutumia kanuni ya msingi ya kuhesabu:

• yeyote kati ya wakimbiaji 8 anaweza kupangwa kwenye njia ya 2,
• yeyote kati ya wakimbiaji 7 waliosalia anaweza kupangwa kwenye njia ya 3,
• yeyote kati ya wakimbiaji 6 waliosalia anaweza kupangwa kwenye njia ya 4,
• yeyote kati ya wakimbiaji 5 waliosalia anaweza kupangwa kwenye njia ya 5,
• yeyote kati ya wakimbiaji 4 waliosalia anaweza kupangwa kwenye njia ya 6,
• yeyote kati ya wakimbiaji 3 waliosalia anaweza kupangwa kwenye njia ya 7,
• yeyote kati ya wakimbiaji 2 waliosalia anaweza kupangwa kwenye njia ya 8,
• mkimbiaji 1 aliyesalia anapangwa kwenye njia ya 9.

Kwa hivyo, jumla ya permuteresheni zinazowezekana kwa ajili ya kupanga wakimbiaji 8 katika njia 8 zinazopatikana ni njia 8! = 8 × 7 × 6 × ... × 2 × 1 = 40,320.

Ili kutatua hili kwa kutumia kikokotoo chetu cha permuteresheni, ingiza tu 8 katika kisanduku cha n (vitu) na kisanduku cha r (sampuli), kisha ubofye "Kokotoa" ili kupata 40,320 papo hapo.

Permuteresheni za Seti Ndogo (Subsets)

Katika mifano iliyotangulia, tuliangalia ukokotoaji wa permuteresheni wakati kila kitu katika seti kinatumika katika mpangilio. Hata hivyo, kuna hali nyingi ambapo seti kubwa zaidi ya vitu hupangwa katika vikundi vidogo.

Katika matukio haya, idadi ya jumla ya vitu vinavyopatikana inaonyeshwa kwa n, idadi ya vitu vilivyochaguliwa kwa ajili ya kikundi kidogo (sampuli) inaonyeshwa kwa r, na fomula ifuatayo inatumika kukokotoa idadi ya permuteresheni:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

Hii ni fomula ya kawaida ya permuteresheni inayotumika kukokotoa mipangilio bila marudio unapohitaji kupanga sampuli maalum r iliyochukuliwa kutoka kwa seti kubwa n.

Ikiwa unahitaji kukokotoa idadi ya njia za kupanga vipengele vyote vya seti kwa mtiririko maalum bila marudio (ambapo n ni sawa na r), fomula inarahisishwa kuwa:

$$ₙPᵣ=n!$$

Mfano

Tukirudi kwenye mfano wa mbio za mita 100, awali tulikokotoa jumla ya njia ambazo wakimbiaji wote wanane wangeweza kupangwa kwenye uwanja. Sasa, hebu tuangalie medali. Kuna medali tatu zinazoshindaniwa: mshindi wa kwanza hupata dhahabu, mshindi wa pili hupata fedha, na mshindi wa tatu hupata shaba. Kutokana na wakimbiaji 8 wanaoanza, kuna njia ngapi zinazowezekana ambazo medali za dhahabu, fedha, na shaba zinaweza kutolewa?

Kwa kutumia kanuni ya msingi ya kuhesabu, yeyote kati ya wakimbiaji 8 anaweza kuchukua nafasi ya kwanza. Baada ya mshindi wa medali ya dhahabu kuamuliwa, wakimbiaji 7 wanasalia katika kinyang'anyiro cha nafasi ya pili. Baada ya medali ya fedha kutolewa, wakimbiaji 6 wanasalia kushindania medali ya shaba ya nafasi ya tatu. Kwa hivyo, jumla ya idadi ya permuteresheni zinazowezekana kwa nafasi tatu za juu kati ya wakimbiaji 8 ni: 8 × 7 × 6 = 336

Vinginevyo, tunaweza kutumia fomula ya nPr:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

Tukiweka nambari zetu, tunapata:

$$₈P₃=\frac{8!}{\left(8-3\right)!}=\frac{8!}{5!}=\frac{8×7×6×5×4×\ldots×1}{5×4×\ldots×1}=8×7×6=336$$

Ili kupata jibu hili kwa kutumia kikokotoo cha permuteresheni, ingiza 8 kwenye kisanduku cha n (vitu) na 3 kwenye kisanduku cha r (sampuli). Bofya "Kokotoa", na utapata 336.

Permuteresheni na Kombinesheni: Tofauti

Mbinu nyingine muhimu ya kuhesabu katika hisabati ni kombinesheni. Kombinesheni zinawakilisha njia mbalimbali ambazo idadi ndogo ya vitu (sampuli r) inaweza kuchaguliwa kutoka kundi kubwa la vitu (n). Idadi ya kombinesheni za vitu r zilizochaguliwa kutoka kwa vitu n inaonyeshwa kwa urahisi kama ₙCᵣ.

Wakati wa kufafanua permuteresheni, tulibainisha kuwa mfuatano au mpangilio ni muhimu sana. Hii ndiyo tofauti kuu kati ya permuteresheni na kombinesheni: katika kombinesheni, mpangilio sio muhimu.

Kwa mfano, hapo awali tulibainisha kuwa permuteresheni za herufi XYZ zikichukuliwa katika vikundi vya herufi mbili hutoa mipangilio sita tofauti: XY, XZ, YZ, YX, ZX, na ZY.

Hata hivyo, kombinesheni za herufi XYZ katika vikundi vya herufi mbili hutoa jozi tatu pekee tofauti: XY, XZ, na YZ. Kwa sababu mpangilio haujalishi katika kombinesheni, XY na YX huchukuliwa kama jozi moja sawa kabisa. Hali kadhalika kwa XZ na ZX, pamoja na YZ na ZY.

Fomula inayotumika kukokotoa idadi ya kombinesheni za vitu r kutoka kwa vitu n ni:

$$ₙСᵣ=\frac{n!}{r!\left(n-r\right)!}$$

Mfano wa Kukokotoa Kombinesheni

Katika hali ya wakimbiaji hapo juu, tulikokotoa idadi ya njia tunazoweza kupanga nafasi maalum za kwanza, pili, na tatu kutoka kundi la wakimbiaji 8. Lakini vipi ikiwa tunataka tu kujua idadi ya njia za kuchagua washindi 3 wa medali kutoka kwa wakimbiaji 8, bila kujali nafasi zao maalum? Katika kesi hii, haijalishi ni nani anashika nafasi ya kwanza, ya pili, au ya tatu—ila tu wamechaguliwa kushinda medali.

Kwa kuwa mpangilio kamili wa medali hauna umuhimu hapa, tunatumia kombinesheni. Tunaweza kutatua hili kwa kutumia fomula ya kawaida ya kombinesheni:

$$ₙСᵣ = \frac{n!}{r!(n-r)!}$$

Idadi ya njia ambazo washindi 3 wa medali wasiopangiwa nafasi wanaweza kuchaguliwa kutoka kwa kundi la wakimbiaji 8 inatolewa na:

$$₈C₃=\frac{8!}{3! × \left(8-3\right)!}=\frac{8!}{3! × 5!}=\frac{8 × 7 × 6}{3 × 2 × 1}=8×7=56$$

Mifano ya Kukokotoa Permuteresheni

1. Mtayarishaji wa habari za televisheni anahitaji kuchagua wageni waalikwa 3 kati ya 5 wanaopatikana kwa ajili ya programu ya uchambuzi inayokuja. Mpangilio ambao wageni watazungumza ni muhimu sana. Kuna njia ngapi tofauti ambazo mtayarishaji anaweza kupanga mawasilisho haya? Kwa kuwa mpangilio ni muhimu na marudio hayaruhusiwi (mgeni hawezi kuonekana mara mbili katika orodha sawa), tunatumia fomula ya permuteresheni:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$₅P₃ = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = 5 × 4 × 3 = 60$$

Hii inaonyesha kuwa mtayarishaji ana njia 60 za kipekee za kuwapanga wageni waalikwa.

2. Mkosoaji maarufu wa mikahawa amechagua mikahawa 10 bora ya sushi mjini ili kubaini mikahawa 3 bora ya sushi. Mikahawa hii lazima iwasilishwe kwa mpangilio maalum ili kuonyesha viwango vyao vya mwisho, na hakuna mkahawa unaoweza kuonekana kwenye orodha zaidi ya mara moja. Kwa kuwa mpangilio ni muhimu sana na hakuna marudio, tunatimiza matakwa ya msingi ya permuteresheni. Tunatumia fomula ya nPr:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$₁₀P₃ = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!} = 10 × 9 × 8 = 720$$

3. Tunaposema kuwa "mpangilio ni muhimu" katika permuteresheni, haimaanishi tu kuwa mpangilio unapaswa kuwa wa nambari kama wa 1, wa 2, au wa 3. Mpangilio unaweza pia kufafanuliwa na majukumu au maeneo maalum, tofauti ambamo vipengele vyetu vinapelekwa.

Kwa mfano, mfikirie meneja wa kampuni ya ukarabati wa nyumba. Ana oda nne maalum za kazi za kutekeleza leo: kupaka rangi ofisi ya wakala wa viza, ghala la kiwanda, duka la nguo, na chumba katika nyumba ya kibinafsi. Kampuni ina wapaka rangi sita wafanyakazi. Kila mpaka rangi anaweza tu kutumwa kwenye eneo 1 kwa siku, ikimaanisha wapaka rangi wawili watakuwa na mapumziko siku hiyo.

Maeneo manne ya kipekee ya kazi (wakala wa viza, ghala, duka, na nyumba ya kibinafsi) hufanya kama mbadala wa nafasi ya 1, 2, 3, na 4.

Meneja anatathmini chaguzi zake:

• Wapaka rangi 6 wanaopatikana ambao wanaweza kupangiwa ofisi ya wakala wa viza,
• Wapaka rangi 5 waliosalia ambao wanaweza kupangiwa ghala la kiwanda,
• Wapaka rangi 4 waliosalia ambao wanaweza kutumwa kwenye duka la nguo,
• Wapaka rangi 3 waliosalia ambao wanaweza kupangiwa chumba cha nyumba ya kibinafsi.

Kimantiki, tunaweza kukokotoa idadi ya jumla ya chaguzi za mgawo kama 6 × 5 × 4 × 3 = 360.

Kwa sababu eneo maalum analopangiwa kila mpaka rangi lina umuhimu kabisa (mpangilio ni muhimu), na hakuna mpaka rangi anayeweza kufanya kazi katika eneo zaidi ya moja kwa siku moja (hakuna marudio), tunaweza kutumia fomula yetu ya permuteresheni kikamilifu:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$\frac{6!}{(6-4)!} = \frac{6!}{2!} = 6 × 5 × 4 × 3 = 360$$

Hatimaye, kuna njia 360 tofauti kamili ambazo meneja wa ukarabati wa nyumba anaweza kugawa oda za siku hiyo miongoni mwa wapaka rangi wake wanaopatikana chini ya masharti yaliyotolewa.